AEC-VIKOR-Coordination 对抗择优抽取的具体运用


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流程图


原始系统如下:


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times19}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6 & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline 兰州 &163.54 &3189 &21.95 &96.92 &9744 &1112.7 &5977.36 &14861.55 &36.61 &226.19 &47 &76 &68.8 &13.19 &33.14 &85.2 &96.38 &99.9 &6732\\ \hline 白银 &14.54 &317 &21.47 &40.2 &12172.25 &0 &1134 &10144 &7.86 &150 &25 &64 &65.5 &11.56 &36.34 &94 &94.35 &100 &4959\\ \hline 定西 &4.69 &532 &14.17 &53.1 &12808 &0 &2152 &4874 &11.3017 &96.0875 &24 &53 &67.2 &17.69 &30.1 &98.1 &95.34 &100 &2248\\ \hline 临夏 &11.2 &261 &16.07 &49.4 &7859.24 &0 &1687 &7305 &9.28 &120.53 &24 &55 &66.8 &16.51 &33 &88.8 &95.1 &100 &2263\\ \hline 西宁 &74.6 &1920 &12.5 &73.03 &5715 &586.2 &2680.8 &5998.5 &21.15 &62.46 &48 &70 &68.3 &12.82 &40.02 &92.1 &94.87 &98.73 &7008\\ \hline 海东 &0.98 &170 &8.1 &23.69 &12024 &0 &1013 &3520 &4.23 &48.13 &36 &62 &68.7 &5.75 &35.86 &95 &95.81 &96.2 &18581\\ \hline \end{array} $$

采用的归一方法如下


极差法

正向指标公式:$$ n_{ij} = \frac{{o_{ij}-min(o_{j})}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}} $$

负向指标公式:$$ n_{ij} = \frac{max(o_{j})-{o_{ij}}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}} $$


归一化矩阵如下


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times19}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6 & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline 兰州 &0 &1 &1 &0 &0.568 &0 &0 &0 &0 &0 &0.042 &0 &0 &0.623 &0.306 &0 &1 &0.974 &0.725\\ \hline 白银 &0.917 &0.049 &0.965 &0.775 &0.91 &1 &0.976 &0.416 &0.888 &0.428 &0.958 &0.522 &1 &0.487 &0.629 &0.682 &0 &1 &0.834\\ \hline 定西 &0.977 &0.12 &0.438 &0.598 &1 &1 &0.771 &0.881 &0.782 &0.731 &1 &1 &0.485 &1 &0 &1 &0.488 &1 &1\\ \hline 临夏 &0.937 &0.03 &0.575 &0.649 &0.302 &1 &0.864 &0.666 &0.844 &0.593 &1 &0.913 &0.606 &0.901 &0.292 &0.279 &0.369 &1 &0.999\\ \hline 西宁 &0.547 &0.58 &0.318 &0.326 &0 &0.473 &0.664 &0.781 &0.477 &0.92 &0 &0.261 &0.152 &0.592 &1 &0.535 &0.256 &0.666 &0.709\\ \hline 海东 &1 &0 &0 &1 &0.889 &1 &1 &1 &1 &1 &0.5 &0.609 &0.03 &0 &0.581 &0.76 &0.719 &0 &0\\ \hline \end{array} $$
正极值点构成
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{1 \times19}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6 & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline \mathbf{Zone^+} &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$
负极值点构成
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{1 \times19}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6 & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline \mathbf{Zone^-} &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline \end{array} $$

采用的是熵权法(EWM)求权重


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times19}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6 & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline EWM所得权重 &0.0376 &0.1397 &0.0504 &0.0444 &0.0471 &0.0398 &0.0359 &0.0409 &0.0387 &0.0416 &0.0724 &0.0503 &0.0947 &0.0406 &0.053 &0.0473 &0.0538 &0.0358 &0.0359\\ \hline 权重大小顺序 &16 &1 &6 &10 &9 &14 &17 &12 &15 &11 &3 &7 &2 &13 &5 &8 &4 &19 &18\\ \hline \end{array} $$

子系统的期望综合值U_S的计算,与子系统的遗憾综合值U_R的计算


总共有2个子系统


子系统1原始数据如下


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times10}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6\\ \hline 兰州 &163.54 &3189 &21.95 &96.92 &9744 &1112.7 &5977.36 &14861.55 &36.61 &226.19\\ \hline 白银 &14.54 &317 &21.47 &40.2 &12172.25 &0 &1134 &10144 &7.86 &150\\ \hline 定西 &4.69 &532 &14.17 &53.1 &12808 &0 &2152 &4874 &11.3017 &96.0875\\ \hline 临夏 &11.2 &261 &16.07 &49.4 &7859.24 &0 &1687 &7305 &9.28 &120.53\\ \hline 西宁 &74.6 &1920 &12.5 &73.03 &5715 &586.2 &2680.8 &5998.5 &21.15 &62.46\\ \hline 海东 &0.98 &170 &8.1 &23.69 &12024 &0 &1013 &3520 &4.23 &48.13\\ \hline \end{array} $$

子系统2原始数据如下


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times9}} & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline 兰州 &47 &76 &68.8 &13.19 &33.14 &85.2 &96.38 &99.9 &6732\\ \hline 白银 &25 &64 &65.5 &11.56 &36.34 &94 &94.35 &100 &4959\\ \hline 定西 &24 &53 &67.2 &17.69 &30.1 &98.1 &95.34 &100 &2248\\ \hline 临夏 &24 &55 &66.8 &16.51 &33 &88.8 &95.1 &100 &2263\\ \hline 西宁 &48 &70 &68.3 &12.82 &40.02 &92.1 &94.87 &98.73 &7008\\ \hline 海东 &36 &62 &68.7 &5.75 &35.86 &95 &95.81 &96.2 &18581\\ \hline \end{array} $$

子系统1归一化矩阵如下


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times10}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6\\ \hline 兰州 &0 &1 &1 &0 &0.56802 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline 白银 &0.91658 &0.04869 &0.96534 &0.77455 &0.91037 &1 &0.97563 &0.41595 &0.88789 &0.42789\\ \hline 定西 &0.97718 &0.11991 &0.43827 &0.59839 &1 &1 &0.77056 &0.88062 &0.7816 &0.73067\\ \hline 临夏 &0.93713 &0.03014 &0.57545 &0.64891 &0.3023 &1 &0.86423 &0.66627 &0.84404 &0.5934\\ \hline 西宁 &0.54712 &0.57966 &0.31769 &0.32623 &0 &0.47317 &0.66405 &0.78147 &0.47746 &0.91952\\ \hline 海东 &1 &0 &0 &1 &0.88947 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$

子系统2归一化矩阵如下


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times9}} & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline 兰州 &0.04167 &0 &0 &0.62312 &0.30645 &0 &1 &0.97368 &0.72546\\ \hline 白银 &0.95833 &0.52174 &1 &0.4866 &0.62903 &0.68217 &0 &1 &0.83402\\ \hline 定西 &1 &1 &0.48485 &1 &0 &1 &0.48768 &1 &1\\ \hline 临夏 &1 &0.91304 &0.60606 &0.90117 &0.29234 &0.27907 &0.36946 &1 &0.99908\\ \hline 西宁 &0 &0.26087 &0.15152 &0.59213 &1 &0.53488 &0.25616 &0.66579 &0.70857\\ \hline 海东 &0.5 &0.6087 &0.0303 &0 &0.58065 &0.75969 &0.71921 &0 &0\\ \hline \end{array} $$

子系统的权重分别计算出


子系统1的权重


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times10}} & -P1 & +P2 & +P3 & -P4 & +B1 & -B2 & -B3 & -B4 & -B5 & -B6\\ \hline 权重 &0.07278358 &0.27070436 &0.09771346 &0.08608884 &0.09120687 &0.07709565 &0.06950249 &0.07923461 &0.07501154 &0.08065861\\ \hline 权重大小顺序 &9 &1 &2 &4 &3 &7 &10 &6 &8 &5\\ \hline \end{array} $$

子系统2的权重


$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times9}} & -Q1 & -Q2 & -Q3 & +Q4 & +Q5 & +Q6 & +Q7 & +Q8 & -Q9\\ \hline 权重 &0.14971543 &0.10395119 &0.19568187 &0.08387157 &0.10958907 &0.09771394 &0.11127397 &0.07406873 &0.07413423\\ \hline 权重大小顺序 &2 &5 &1 &7 &4 &6 &3 &9 &8\\ \hline \end{array} $$

子系统综合评价值计算公式


$$期望综合值 US_i = \sum_\limits{j=1}^m{ \omega_{j} \left(\frac{ n_{ij}-Min(n_j)}{Max(n_j) -Min(n_j)} \right)} \quad \quad $$ $$遗憾综合值 UR_i = \max_\limits{j} { \left( \omega_{j} (\frac{n_{ij}-Min(n_j)}{Max(n_j) -Min(n_j)} )\right)} \quad \quad $$

子系统1的两组综合值


$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times2}} &期望综合值US &遗憾综合值UR\\ \hline 兰州 &0.42 &0.271\\ \hline 白银 &0.603 &0.094\\ \hline 定西 &0.607 &0.091\\ \hline 临夏 &0.517 &0.077\\ \hline 西宁 &0.51 &0.157\\ \hline 海东 &0.622 &0.086\\ \hline \end{array} $$

子系统2的两组综合值


$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times2}} &期望综合值US &遗憾综合值UR\\ \hline 兰州 &0.329 &0.111\\ \hline 白银 &0.706 &0.196\\ \hline 定西 &0.733 &0.15\\ \hline 临夏 &0.687 &0.15\\ \hline 西宁 &0.399 &0.11\\ \hline 海东 &0.362 &0.08\\ \hline \end{array} $$

两组协调度的计算


    耦合度公式 $$ C=\left( \frac{\prod \limits_{i=1}^{n} U_i } { \left( \frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}{U_i} \right )^n } \right ) ^\frac{1}{n} $$

    子系统数目为n

    n=2

$$ C=\frac{2\sqrt{U_1U_2}}{U_1+U_2} $$

    n=3

 $$ C=\frac{3 \left ({U_1U_2U_3} \right )^ {\frac{1}{3}} }{U_1+U_2+U_3}=\frac{3 \sqrt[3] {U_1U_2U_3} }{U_1+U_2+U_3} $$

    n=4

 $$ C=\frac{4 \left ({U_1U_2U_3U_4} \right )^ {\frac{1}{4}} }{U_1+U_2+U_3+U_4}=\frac{4 \sqrt[4] {U_1U_2U_3U_4} }{U_1+U_2+U_3+U_4} $$

   协调发展度公式 $$ D=\sqrt{CT} $$

    $$ T=\sum \limits_{i=1}^{n}{\omega _i U_i} $$

期望综合值US


$$综合值=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times2}} &子系统1 &子系统2\\ \hline 兰州 &0.420225 &0.329256\\ \hline 白银 &0.602905 &0.705695\\ \hline 定西 &0.607115 &0.732596\\ \hline 临夏 &0.517157 &0.687354\\ \hline 西宁 &0.510396 &0.398626\\ \hline 海东 &0.621501 &0.361952\\ \hline \end{array} $$

后悔综合值UR


$$综合值=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times2}} &子系统1 &子系统2\\ \hline 兰州 &0.270704 &0.111274\\ \hline 白银 &0.094327 &0.195682\\ \hline 定西 &0.091207 &0.149715\\ \hline 临夏 &0.077096 &0.149715\\ \hline 西宁 &0.156916 &0.109589\\ \hline 海东 &0.086089 &0.080029\\ \hline \end{array} $$

分配系数采用总系统中的权重分配为0.51615255112357:0.48384744887643

期望 CTD值


$$CTD=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times3}} &C &T &D\\ \hline 兰州 &0.992607 &0.37621 &0.611088\\ \hline 白银 &0.99691 &0.65264 &0.806612\\ \hline 定西 &0.995604 &0.667829 &0.81541\\ \hline 临夏 &0.989967 &0.599507 &0.770384\\ \hline 西宁 &0.992412 &0.456316 &0.672944\\ \hline 海东 &0.964546 &0.495919 &0.691619\\ \hline \end{array} $$

遗憾 CTD值


$$CTD=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times3}} &C &T &D\\ \hline 兰州 &0.908732 &0.193564 &0.419402\\ \hline 白银 &0.93694 &0.143367 &0.366506\\ \hline 定西 &0.970063 &0.119516 &0.340497\\ \hline 临夏 &0.947358 &0.112233 &0.326074\\ \hline 西宁 &0.984106 &0.134017 &0.363162\\ \hline 海东 &0.999334 &0.083157 &0.288273\\ \hline \end{array} $$

排序分析


$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times2}} &DS &DR\\ \hline 兰州 &0.611088 &0.419402\\ \hline 白银 &0.806612 &0.366506\\ \hline 定西 &0.81541 &0.340497\\ \hline 临夏 &0.770384 &0.326074\\ \hline 西宁 &0.672944 &0.363162\\ \hline 海东 &0.691619 &0.288273\\ \hline \end{array} $$

$$a_i= DS_i \qquad b_i=DR_i $$

$$ Q_i = \left( 1-k \right) a_i + kb_i \quad \quad $$

对于 $x,y$样本

$$ \begin{cases} \left( 1-k \right) a_x + kb_x \\ \left( 1-k \right) a_y + kb_y \end{cases} $$

以上问题就变成了求两条线段是否在$[0,1]$值域内有相交的问题,此题属于初中的知识范畴,不再详细描述。

$$ \left( 1-k \right) a_x + kb_x =\left( 1-k \right) a_y + kb_y $$

$$ a_x-k a_x + kb_x =a_y-k a_y + kb_y $$

$$ a_x- a_y=-k a_y + kb_y +k a_x - kb_x $$

$$ a_x- a_y=(- a_y + b_y + a_x - b_x)k $$

$$ k =\frac{a_x- a_y}{( a_x- a_y + b_y - b_x)} $$


基础矩阵如下


$$Base=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times2}} &a_i &b_i\\ \hline 兰州 &0.6111 &0.4194\\ \hline 白银 &0.8066 &0.3665\\ \hline 定西 &0.8154 &0.3405\\ \hline 临夏 &0.7704 &0.3261\\ \hline 西宁 &0.6729 &0.3632\\ \hline 海东 &0.6916 &0.2883\\ \hline \end{array} $$

拐点k值分析


$$Qk_{matrix}=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times11}} &k=0 &k=0.2 &k=0.253 &k=0.38 &k=0.524 &k=0.631 &k=0.721 &k=0.724 &k=0.787 &k=0.863 &k=1\\ \hline 兰州 &0.611 &0.573 &0.563 &0.538 &0.511 &0.49 &0.473 &0.472 &0.46 &0.446 &0.419\\ \hline 白银 &0.807 &0.719 &0.695 &0.639 &0.576 &0.529 &0.489 &0.488 &0.46 &0.427 &0.367\\ \hline 定西 &0.815 &0.721 &0.695 &0.635 &0.567 &0.516 &0.473 &0.471 &0.442 &0.406 &0.34\\ \hline 临夏 &0.77 &0.682 &0.658 &0.601 &0.538 &0.49 &0.45 &0.449 &0.421 &0.387 &0.326\\ \hline 西宁 &0.673 &0.611 &0.595 &0.555 &0.511 &0.478 &0.449 &0.449 &0.429 &0.406 &0.363\\ \hline 海东 &0.692 &0.611 &0.59 &0.538 &0.48 &0.437 &0.401 &0.399 &0.374 &0.344 &0.288\\ \hline \end{array} $$

聚类特征


序号 聚类特征-对应k值区段 Q值排序
10<$k$< 0.199593$兰州 \prec 西宁 \prec 海东 \prec 临夏 \prec 白银 \prec 定西$
20.199593<$k$< 0.252751$兰州 \prec 海东 \prec 西宁 \prec 临夏 \prec 白银 \prec 定西$
30.252751<$k$< 0.380473$兰州 \prec 海东 \prec 西宁 \prec 临夏 \prec 定西 \prec 白银$
40.380473<$k$< 0.523779$海东 \prec 兰州 \prec 西宁 \prec 临夏 \prec 定西 \prec 白银$
50.523779<$k$< 0.630566$海东 \prec 西宁 \prec 兰州 \prec 临夏 \prec 定西 \prec 白银$
60.630566<$k$< 0.721407$海东 \prec 西宁 \prec 临夏 \prec 兰州 \prec 定西 \prec 白银$
70.721407<$k$< 0.724309$海东 \prec 西宁 \prec 临夏 \prec 定西 \prec 兰州 \prec 白银$
80.724309<$k$< 0.78707$海东 \prec 临夏 \prec 西宁 \prec 定西 \prec 兰州 \prec 白银$
90.78707<$k$< 0.862743$海东 \prec 临夏 \prec 西宁 \prec 定西 \prec 白银 \prec 兰州$
100.862743<$k$< 1$海东 \prec 临夏 \prec 定西 \prec 西宁 \prec 白银 \prec 兰州$

AEC求解过程


排名 要素所占区段
0海东=0.619527   兰州=0.380473   
1西宁=0.400123   临夏=0.275691   海东=0.18088   兰州=0.143306   
2西宁=0.46262   海东=0.199593   定西=0.137257   兰州=0.106787   临夏=0.093743   
3临夏=0.630566   定西=0.141336   西宁=0.137257   兰州=0.090841   
4定西=0.468656   白银=0.465681   兰州=0.065663   
5白银=0.534319   定西=0.252751   兰州=0.21293   
排名 最优妥协解
劣汰情境$海东 \prec 兰州 \prec 西宁 \prec 临夏 \prec 定西 \prec 白银$
优胜情境 $海东 \prec 兰州 \prec 西宁 \prec 临夏 \prec 定西 \prec 白银$

优胜情境的排序为聚类排序中的第4个

取中间值聚类中间值为:(0.38047340906779+0.52377879123201)/2 =0.4521261001499

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times3}} &DS &DR &最优妥协解\\ \hline 兰州 &0.6111 &0.4194 &0.5244\\ \hline 白银 &0.8066 &0.3665 &0.6076\\ \hline 定西 &0.8154 &0.3405 &0.6007\\ \hline 临夏 &0.7704 &0.3261 &0.5695\\ \hline 西宁 &0.6729 &0.3632 &0.5329\\ \hline 海东 &0.6916 &0.2883 &0.5093\\ \hline \end{array} $$

劣汰情境的排序为聚类排序中的第4个

取中间值聚类中间值为:(0.38047340906779+0.52377879123201)/2 =0.4521261001499

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{6 \times3}} &DS &DR &最优妥协解\\ \hline 兰州 &0.6111 &0.4194 &0.5244\\ \hline 白银 &0.8066 &0.3665 &0.6076\\ \hline 定西 &0.8154 &0.3405 &0.6007\\ \hline 临夏 &0.7704 &0.3261 &0.5695\\ \hline 西宁 &0.6729 &0.3632 &0.5329\\ \hline 海东 &0.6916 &0.2883 &0.5093\\ \hline \end{array} $$
扯蛋模型