AEC-VIKOR求解过程

流程图

上面是通用版的AECM流程图,可以针对任意的两组综合评价值。

该方法对常规的VIKOR创新点，或者说针对VIKOR方法的不足之处主要为：

VIKOR求妥协解，都是拍脑袋直接取一个系数为0.5。最多讨论一下大于0.5属于什么，小于0.5属于什么。

本方法明确的解出了，总共有多少种排序。即聚类的数目。这是首次提出拐点等，而且其数学水平只需初中水平就可以求解出。

妥协解中其本质是运用曼哈顿距离，可以构造出无数种妥协解的方式。除非多个拐点重叠，否则任何一种妥协解的聚类特征是完全一致的。变化的只是K值区间而已

AEC则更进一步，它能指出，最优妥协解未必就是落在k=0.5这个妥协值上。

优胜与劣汰两种情境求解出的结果可能并不一致。

原始矩阵如下：

采用的归一方法如下

极差法

正向指标公式： $$n_{ij} = \frac{{o_{ij}-min(o_{j})}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}}$$

负向指标公式： $$n_{ij} = \frac{max(o_{j})-{o_{ij}}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}}$$

归一化矩阵如下

正极值点构成

负极值点构成

采用的是熵权法（EWM）求权重

VIKOR的最大化群体效益和最小化反对意见的个别遗憾

代入权重值等即得(S R)两列矩阵，两列都为负向指标

妥协解的公式

截距方式分析k的值——也是常规方法

一般的论文对于下面的公式

$$Q_i = \left( 1-k \right) \left(\frac{S_i - Min(S_i)}{Max(S_i) -Min(S_i)} \right) + k\left(\frac{R_i - Min(R_i)}{Max(R_i) -Min(R_i)} \right)$$

其中的$k$随便说一下取0.5就拉倒了。这个好比小学生的四舍五入一样天经地义。事实上这个值很有得商榷的。它是一个敏感性有强有弱的范围。

$$对于每一行 令a_i =\frac{S_i - Min(S_i)}{Max(S_i) -Min(S_i)} \quad \quad b_i =\frac{R_i - Min(R_i)}{Max(R_i) -Min(R_i)}$$

$$Q_i = \left( 1-k \right) a_i + kb_i \quad \quad$$

对于 $x,y$样本

$$\begin{cases} \left( 1-k \right) a_x + kb_x \\ \left( 1-k \right) a_y + kb_y \end{cases}$$

以上问题就变成了求两条线段是否在$[0,1]$值域内有相交的问题，此题属于初中的知识范畴，不再详细描述。

$$\left( 1-k \right) a_x + kb_x =\left( 1-k \right) a_y + kb_y$$

$$a_x-k a_x + kb_x =a_y-k a_y + kb_y$$

$$a_x- a_y=-k a_y + kb_y +k a_x - kb_x$$

$$a_x- a_y=(- a_y + b_y + a_x - b_x)k$$

$$k =\frac{a_x- a_y}{( a_x- a_y + b_y - b_x)}$$

基础矩阵如下

所谓拐点，就是上述线段中的交点

所谓排序分析，即每个决策系数k对应的Q值的优劣排序，数值越低越优。两个拐点之间要素的排序是稳定一致的

拐点处（交点），存在着至少一次，某两个要素的排序是一致的。

交点坐标位置接近，以至于观测不到交点，下面会变换坐标，使得拐点等距，这样方便观测拐点具体的值。

拐点k值分析

排序分析

上述是负向指标，数值越小越好，每一列数值最小的排第一。因此排序情况如下：

$$Q_{rank}=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{11 \times12}} &k=0 &k=0.101 &k=0.201 &k=0.226 &k=0.262 &k=0.423 &k=0.453 &k=0.642 &k=0.65 &k=0.786 &k=0.951 &k=1\\ \hline 2011 &9 &9 &9 &9 &9 &9 &9 &9 &8 &7 &7 &7\\ \hline 2012 &8 &8 &8 &8 &8 &8 &7 &6 &6 &6 &6 &6\\ \hline 2013 &7 &7 &6 &6 &6 &5 &5 &5 &5 &5 &4 &4\\ \hline 2014 &6 &6 &6 &7 &7 &7 &7 &8 &8 &9 &9 &9\\ \hline 2015 &4 &4 &4 &4 &3 &3 &3 &3 &3 &3 &3 &3\\ \hline 2016 &3 &3 &3 &2 &2 &2 &2 &2 &2 &2 &2 &2\\ \hline 2017 &2 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline st1 &1 &1 &2 &2 &3 &4 &4 &4 &4 &4 &4 &5\\ \hline st2 &5 &5 &5 &5 &5 &5 &6 &6 &7 &7 &8 &8\\ \hline st3 &10 &10 &10 &10 &10 &10 &10 &10 &10 &10 &10 &10\\ \hline st4 &11 &11 &11 &11 &11 &11 &11 &11 &11 &11 &11 &11\\ \hline \end{array}$$

聚类特征

AEC求解过程