TOPSIS——AISM联合求解过程
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原始数据如下
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times15}} &S1 &S2 &S3 &S4 &S5 & -S6 &S7 &S8 &S9 &S10 &S11 &S12 &S13 &S14 &S15\\ \hline 北京 &1010.8 &401.59 &36102.6 &0.14 &2.24 &8 &1032.78 &22203 &228716.43 &3391428.24 &59 &3350.39734 &13420.5 &23235.9 &22.2\\ \hline 天津 &787.7 &81 &14083.7 &0.12 &1.61 &11 &2600.36 &52519 &69733.02 &958419.09 &14.9 &1059.31421 &2346.4 &3226.3 &7.3\\ \hline 河北 &2886 &382.8 &36206.9 &0.78 &19.7 &5 &13729.95 &247323 &230392.65 &2423535.28 &27.5 &637.92347 &1926 &2726.3 &7.1\\ \hline 辽宁 &1311.2 &188.51 &25115 &0.65 &12.48 &9 &5421.47 &167341 &79515.65 &1038723.06 &32.9 &944.57084 &2570.3 &4112 &5.5\\ \hline 上海 &1650.4 &426.87 &38700.6 &0.05 &1.3 &7 &32795 &138839 &313326.08 &12888432.81 &50.4 &5031.89465 &11367.5 &20462.4 &11\\ \hline 江苏 &3170 &574.95 &102719 &0.36 &15.99 &2 &10890.45 &275209 &574060.4 &6189768.28 &48.3 &6427.74738 &7418 &9873.8 &9.4\\ \hline 浙江 &1980.1 &444.59 &64613.3 &0.28 &12.18 &3 &12324.24 &300276 &1326252.08 &9129240.47 &31.2 &4879.34351 &4005.2 &11482 &11.7\\ \hline 福建 &1482.2 &255 &43903.9 &0.35 &10.98 &6 &9014.32 &140698 &261951.28 &2591559.72 &22.9 &2026.65893 &1725.1 &4477.9 &11.2\\ \hline 山东 &3636.1 &377.76 &73129 &0.66 &28.03 &4 &10377.01 &316831 &288856.17 &2883528.32 &44.6 &3184.4703 &7959.8 &12882.4 &12.5\\ \hline 广东 &3658 &525.23 &110760.9 &0.47 &22.03 &1 &27210.83 &344439 &1680594.05 &18479102.08 &82.6 &10236.3414 &21902.5 &30168.2 &10.8\\ \hline 广西 &902 &219.49 &22156.7 &0.52 &12.78 &10 &4159.61 &187444 &56386.31 &746466.29 &19.1 &702.8563 &1355.3 &1586.5 &9.5\\ \hline 海南 &256 &144.92 &5532.4 &0.1 &3.81 &12 &3683 &20670 &8143.41 &184819.15 &7.3 &135.39428 &297.1 &828.5 &12.9\\ \hline \end{array} $$
采用的归一方法如下
极差法
正向指标公式：$$ n_{ij} = \frac{{o_{ij}-min(o_{j})}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}} $$
负向指标公式：$$ n_{ij} = \frac{max(o_{j})-{o_{ij}}}{{max(o_{j})-min(o_{j})}} $$
计算后的归一化矩阵如下
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times15}} &S1 &S2 &S3 &S4 &S5 & -S6 &S7 &S8 &S9 &S10 &S11 &S12 &S13 &S14 &S15\\ \hline 北京 &0.222 &0.649 &0.291 &0.123 &0.035 &0.364 &0 &0.005 &0.132 &0.175 &0.687 &0.318 &0.607 &0.764 &1\\ \hline 天津 &0.156 &0 &0.081 &0.096 &0.012 &0.091 &0.049 &0.098 &0.037 &0.042 &0.101 &0.091 &0.095 &0.082 &0.108\\ \hline 河北 &0.773 &0.611 &0.292 &1 &0.688 &0.636 &0.4 &0.7 &0.133 &0.122 &0.268 &0.05 &0.075 &0.065 &0.096\\ \hline 辽宁 &0.31 &0.218 &0.186 &0.822 &0.418 &0.273 &0.138 &0.453 &0.043 &0.047 &0.34 &0.08 &0.105 &0.112 &0\\ \hline 上海 &0.41 &0.7 &0.315 &0 &0 &0.455 &1 &0.365 &0.182 &0.694 &0.572 &0.485 &0.512 &0.669 &0.329\\ \hline 江苏 &0.857 &1 &0.924 &0.425 &0.55 &0.909 &0.31 &0.786 &0.338 &0.328 &0.544 &0.623 &0.33 &0.308 &0.234\\ \hline 浙江 &0.507 &0.736 &0.561 &0.315 &0.407 &0.818 &0.355 &0.864 &0.788 &0.489 &0.317 &0.47 &0.172 &0.363 &0.371\\ \hline 福建 &0.36 &0.352 &0.365 &0.411 &0.362 &0.545 &0.251 &0.371 &0.152 &0.132 &0.207 &0.187 &0.066 &0.124 &0.341\\ \hline 山东 &0.994 &0.601 &0.642 &0.836 &1 &0.727 &0.294 &0.915 &0.168 &0.148 &0.495 &0.302 &0.355 &0.411 &0.419\\ \hline 广东 &1 &0.899 &1 &0.575 &0.776 &1 &0.824 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &0.317\\ \hline 广西 &0.19 &0.28 &0.158 &0.644 &0.429 &0.182 &0.098 &0.515 &0.029 &0.031 &0.157 &0.056 &0.049 &0.026 &0.24\\ \hline 海南 &0 &0.129 &0 &0.068 &0.094 &0 &0.083 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0.443\\ \hline \end{array} $$
正极值点构成
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{1 \times15}} &S1 &S2 &S3 &S4 &S5 & -S6 &S7 &S8 &S9 &S10 &S11 &S12 &S13 &S14 &S15\\ \hline \mathbf{Max} &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$负极值点构成
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{1 \times15}} &S1 &S2 &S3 &S4 &S5 & -S6 &S7 &S8 &S9 &S10 &S11 &S12 &S13 &S14 &S15\\ \hline \mathbf{Min} &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\ \hline \end{array} $$带权重的距离公式中权重的计算方法——此处处理的为客观权重方法所得权重
采用的是熵权法（EWM）求权重
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{2 \times15}} &S1 &S2 &S3 &S4 &S5 & -S6 &S7 &S8 &S9 &S10 &S11 &S12 &S13 &S14 &S15\\ \hline EWM所得权重 &0.0476 &0.0392 &0.0554 &0.057 &0.0677 &0.0442 &0.0745 &0.0542 &0.1107 &0.1009 &0.0475 &0.0786 &0.0878 &0.0856 &0.0491\\ \hline 权重大小顺序 &12 &15 &9 &8 &7 &14 &6 &10 &1 &2 &13 &5 &3 &4 &11\\ \hline \end{array} $$带权重的距离公式中距离公式的选择
点击此按钮可以查看选择的距离公式的一般形式欧几里得距离、欧式距离公式
$$ D_i^+ = \sqrt {\sum_\limits{j=1}^m { \omega_{j}^2 \left({Max(n_j) -n_{ij}} \right)} ^2} $$
$$ D_i^- = \sqrt {\sum_\limits{j=1}^m { \omega_{j}^2 \left({n_{ij}-Min(n_j) } \right)} ^2} $$
计算后的距离矩阵如下
$$Dist=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times2}} &-d^+ &d^-\\ \hline 北京 &0.1999 &0.1143\\ \hline 天津 &0.2528 &0.0205\\ \hline 河北 &0.2089 &0.1067\\ \hline 辽宁 &0.2297 &0.0691\\ \hline 上海 &0.1639 &0.1444\\ \hline 江苏 &0.1567 &0.1378\\ \hline 浙江 &0.1484 &0.1443\\ \hline 福建 &0.2141 &0.0677\\ \hline 山东 &0.1723 &0.1386\\ \hline 广东 &0.0461 &0.2554\\ \hline 广西 &0.2375 &0.0602\\ \hline 海南 &0.2632 &0.0244\\ \hline \end{array} $$
设定的贴近度公式
类似曼哈顿距离公式,最常用的贴近度公式$$ 对正理想点的贴近度 \quad \quad C_i^+ ＝ \frac{ d_i^-} { d_i^- + d_i^+} $$$$ 对负理想点的贴近度 \quad \quad C_i^- ＝ \frac{ d_i^+} { d_i^- + d_i^+} $$
计算后的贴近度矩阵如下
$$Similar=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{12 \times2}} &C^+ &-C^-\\ \hline 北京 &0.3639 &0.6361\\ \hline 天津 &0.075 &0.925\\ \hline 河北 &0.3379 &0.6621\\ \hline 辽宁 &0.2312 &0.7688\\ \hline 上海 &0.4684 &0.5316\\ \hline 江苏 &0.468 &0.532\\ \hline 浙江 &0.493 &0.507\\ \hline 福建 &0.2401 &0.7599\\ \hline 山东 &0.4457 &0.5543\\ \hline 广东 &0.847 &0.153\\ \hline 广西 &0.2023 &0.7977\\ \hline 海南 &0.0847 &0.9153\\ \hline \end{array} $$
TOPSIS——AISM联合求解夹逼过程的理解
原始矩阵，归一化矩阵，距离矩阵，贴近度矩阵对应拓扑层级图如下
重要的概念与定义：
Adversarial Interpretive Structure Modeling Method（简称 AISM）是在经典的解释结构模型（ISM）基础上，融入生成对抗网络（GAN）中的博弈对抗（Adversarial）思想，最新提出的一种模型方法。一言以蔽之AISM就是在不损失系统功能的前提下，通过相反的层级抽取规则，得出一对最简的层次化的拓扑图。
活动要素（Activity elements） 在对抗有向拓扑层级图中处于不同的层级的要素。
可拓变系统（Extension variable system），也叫活动系统或拓扑活动系统 具有活动要素的系统。
刚性系统（Rigid system），也叫拓扑刚性系统（Topological rigid system） 不含有活动要素的系统。
完全刚性系统（Completely rigid system）： 完全刚性系统具有如下三个特性：
其一，关系矩阵中的要素从小到大排序后形成上三角矩阵的满阵形式，即对角线右上方全为1，对角线左下方全为0；同理，关系矩阵中的要素从大到小排列后，则形成下三角矩阵的满阵形式。
其二，两种有向拓扑层级图的结果是一致的，展现为直链型。（一条棍子）
其三，任意两个评价对象（样本，要素，方案）之间都有确定的比较关系（优劣，好坏，可达，大小）。
超级完全刚性系统（Super Completely rigid system）： 比完全刚性系统多一个属性
一条棍子的某个节点含有一个回路系统