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显示原始矩阵O的对抗拓扑层级图

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显示规范化矩阵N的对抗拓扑层级图

最大化群体效益 $S$	遗憾值 $R$	到正理想点距离 $D^+$	到负理想点距离 $D^-$
$$ S_i = \sum_\limits{j=1}^m{ \omega_{j} \left(\frac{Zone_j^+ -n_{ij}}{Zone_j^+ -Zone_j^-} \right)} \quad \quad $$	$$ R_i = \max_\limits{j=1} { \left( \omega_{j} (\frac{Zone_j^+ -n_{ij}}{Zone_j^+ -Zone_j^-} )\right)} \quad \quad $$	$$ D_i^+ = \sqrt {\sum_\limits{j=1}^m { \omega_{j}^2 \left({Max(n_j) -n_{ij}} \right)} ^2} \quad \quad $$	$$ D_i^- = \sqrt {\sum_\limits{j=1}^m { \omega_{j}^2 \left({n_{ij}-Min(n_j) } \right)} ^2} \quad \quad $$
$S$负向指标	$R$负向指标	$D^+$ 负向指标	$D^-$ 正向指标
闵可夫斯基距离公式	闵可夫斯基距离公式	欧几里得距离公式	欧几里得距离公式
曼哈顿距离公式	切比雪夫距离公式	欧式距离公式	欧式距离公式
到正理解的距离	到正理想解的距离	到正理想解的距离	到负理想解的距离
- 前缀表示为负向指标	- 前缀表示为负向指标	- 前缀表示为负向指标	+ 前缀表示为正向指标
闵可夫斯基公式中范数为 1	闵可夫斯基公式中范数为 无穷大	闵可夫斯基公式中范数为 2	闵可夫斯基公式中范数为 2

显示{-S,-R,-D+,+D-}四列的对抗拓扑层级图，注意该三列为负向指标，一列为正向指标

-$S^+$ 期望值	- $D^+$ 欧式距离	-$R^+$遗憾值	$S^-$ 期望值	$D^-$ 欧氏距离	$R^-$遗憾值
$$ S_i^+ = \sum_\limits{j=1}^m{ \omega_{j} \left(\frac{Max(n_j) -n_{ij}}{Max(n_j) -Min(n_j)} \right)} \quad \quad $$	$$ D_i^+ = \sqrt {\sum_\limits{j=1}^m { \omega_{j}^2 \left({Max(n_j) -n_{ij}} \right)} ^2} \quad \quad $$	$$ R_i^+ = \max_\limits{j=1} { \left( \omega_{j} (\frac{Max(n_j) -n_{ij}}{Max(n_j) -Min(n_j)} )\right)} \quad \quad $$	$$ S_i^- = \sum_\limits{j=1}^m{ \omega_{j} \left(\frac{ n_{ij}-Min(n_j)}{Max(n_j) -Min(n_j)} \right)} \quad \quad $$	$$ D_i^- = \sqrt {\sum_\limits{j=1}^m { \omega_{j}^2 \left({n_{ij}-Min(n_j) } \right)} ^2} \quad \quad $$	$$ R_i^- = \max_\limits{j=1} { \left( \omega_{j} (\frac{n_{ij}-Min(n_j)}{Max(n_j) -Min(n_j)} )\right)} \quad \quad $$
负向指标	负向指标	负向指标	正向指标	正向指标	正向指标
闵可夫斯基距离 范数为 1	闵可夫斯基距离 范数为 2	闵可夫斯基距离 范数为 无穷大	闵可夫斯基距离 范数为 1	闵可夫斯基距离 范数为 2	闵可夫斯基距离 范数为 无穷大
到正理解的距离	到正理想解的距离	到正理想解的距离	到负理想解的距离	到负理想解的距离	到负理想解的距离
- 前缀表示为负向指标	- 前缀表示为负向指标	- 前缀表示为负向指标	+ 前缀表示为正向指标	+ 前缀表示为正向指标	+ 前缀表示为正向指标

显示六列的对抗拓扑层级图，注意该三列为负向指标，三列为正向指标

　　闵可夫斯基距离通式为：$({\sum_\limits{i=1}^N|P_i-Q_i|^p})^{\frac{1}{p}}$

　　VIKOR就是采取了两个极值的范数，$p=1 ,p=∞ $ 其中范数为一时候对应的是曼哈顿距离，范数为无穷大的时候对应的为切比雪夫距离

　　依据范数，可知，原来的六列可以分为如下几种两列的情况。

　　常规的VIKOR，分别到正理想点的距离

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$$2列决策矩阵D=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &-S_i^+ &-R^+_i\\ \hline 长沙市 &0.499 &0.1873\\ \hline 湘潭市 &0.6407 &0.1841\\ \hline 株洲市 &0.5164 &0.168\\ \hline 衡阳市 &0.6243 &0.1878\\ \hline 娄底市 &0.6497 &0.1739\\ \hline 益阳市 &0.6222 &0.1864\\ \hline 邵阳市 &0.5716 &0.1135\\ \hline 优 &0.2006 &0.0533\\ \hline 良 &0.5411 &0.0684\\ \hline 中 &0.862 &0.1367\\ \hline \end{array} $$

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　　到负理想点的距离与到正理想点的距离

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$$2列决策矩阵D=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &S_i^- &-R^+_i\\ \hline 长沙市 &0.501 &0.1873\\ \hline 湘潭市 &0.3593 &0.1841\\ \hline 株洲市 &0.4836 &0.168\\ \hline 衡阳市 &0.3757 &0.1878\\ \hline 娄底市 &0.3503 &0.1739\\ \hline 益阳市 &0.3778 &0.1864\\ \hline 邵阳市 &0.4284 &0.1135\\ \hline 优 &0.7994 &0.0533\\ \hline 良 &0.4589 &0.0684\\ \hline 中 &0.138 &0.1367\\ \hline \end{array} $$

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　　到正理想点的距离与到负理想点的距离

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$$2列决策矩阵D=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &-S_i^+ &R^-_i\\ \hline 长沙市 &0.499 &0.0899\\ \hline 湘潭市 &0.6407 &0.0507\\ \hline 株洲市 &0.5164 &0.0545\\ \hline 衡阳市 &0.6243 &0.05\\ \hline 娄底市 &0.6497 &0.0713\\ \hline 益阳市 &0.6222 &0.0535\\ \hline 邵阳市 &0.5716 &0.0743\\ \hline 优 &0.2006 &0.1878\\ \hline 良 &0.5411 &0.1194\\ \hline 中 &0.862 &0.051\\ \hline \end{array} $$

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　　分别到负理想点的距离

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$$2列决策矩阵D=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &S_i^- &R^-_i\\ \hline 长沙市 &0.501 &0.0899\\ \hline 湘潭市 &0.3593 &0.0507\\ \hline 株洲市 &0.4836 &0.0545\\ \hline 衡阳市 &0.3757 &0.05\\ \hline 娄底市 &0.3503 &0.0713\\ \hline 益阳市 &0.3778 &0.0535\\ \hline 邵阳市 &0.4284 &0.0743\\ \hline 优 &0.7994 &0.1878\\ \hline 良 &0.4589 &0.1194\\ \hline 中 &0.138 &0.051\\ \hline \end{array} $$

　　闵可夫斯基距离通式为：$({\sum_\limits{i=1}^N|P_i-Q_i|^p})^{\frac{1}{p}}$

　　范数，$ p=1 ,p=2 , p=∞ $ 其中范数为一时候对应的是曼哈顿距离，范数为二对应欧几里得距离，范数为无穷大的时候对应的为切比雪夫距离

曼哈顿距离，分别到正负理想点的距离，必定为一条棍子

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$$2列决策矩阵D=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &-S_i^+ &S_i^-\\ \hline 长沙市 &0.499 &0.501\\ \hline 湘潭市 &0.6407 &0.3593\\ \hline 株洲市 &0.5164 &0.4836\\ \hline 衡阳市 &0.6243 &0.3757\\ \hline 娄底市 &0.6497 &0.3503\\ \hline 益阳市 &0.6222 &0.3778\\ \hline 邵阳市 &0.5716 &0.4284\\ \hline 优 &0.2006 &0.7994\\ \hline 良 &0.5411 &0.4589\\ \hline 中 &0.862 &0.138\\ \hline \end{array} $$

欧式距离公式，分别到正负理想点的距离

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$$2列决策矩阵D=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &-D_i^+ &D_i^-\\ \hline 长沙市 &0.2248 &0.1595\\ \hline 湘潭市 &0.2383 &0.1086\\ \hline 株洲市 &0.2056 &0.1302\\ \hline 衡阳市 &0.2353 &0.1082\\ \hline 娄底市 &0.2384 &0.1161\\ \hline 益阳市 &0.2427 &0.1158\\ \hline 邵阳市 &0.2041 &0.1398\\ \hline 优 &0.0756 &0.2593\\ \hline 良 &0.1526 &0.1568\\ \hline 中 &0.2447 &0.0666\\ \hline \end{array} $$

切比雪夫距离公式，分别到正负理想点的距离

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$$2列决策矩阵D=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &-R_i^+ &R_i^-\\ \hline 长沙市 &0.1873 &0.0899\\ \hline 湘潭市 &0.1841 &0.0507\\ \hline 株洲市 &0.168 &0.0545\\ \hline 衡阳市 &0.1878 &0.05\\ \hline 娄底市 &0.1739 &0.0713\\ \hline 益阳市 &0.1864 &0.0535\\ \hline 邵阳市 &0.1135 &0.0743\\ \hline 优 &0.0533 &0.1878\\ \hline 良 &0.0684 &0.1194\\ \hline 中 &0.1367 &0.051\\ \hline \end{array} $$

　　到正理想点距离求平均值，到负理想点距离求平均值

$$SDR=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &-SDR_i^+ &SDR_i^-\\ \hline 长沙市 &0.3037 &0.2501\\ \hline 湘潭市 &0.3544 &0.1729\\ \hline 株洲市 &0.2967 &0.2228\\ \hline 衡阳市 &0.3491 &0.178\\ \hline 娄底市 &0.354 &0.1792\\ \hline 益阳市 &0.3504 &0.1824\\ \hline 邵阳市 &0.2964 &0.2142\\ \hline 优 &0.1098 &0.4155\\ \hline 良 &0.254 &0.245\\ \hline 中 &0.4145 &0.0852\\ \hline \end{array} $$

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公式

$$ Q_i = \left( 1-k \right) \left(\frac{SDR_i^+ - Min(SDR_i^+)}{Max(SDR_i^+) -Min(SDR_i^+)} \right) + k\left(\frac{ Max(SDR_i^-) -SDR_i^-}{Max(SDR_i^-) -Min(SDR_i^-)} \right) $$

$$Q_i 为负向指标，即数值越大，越差$$

$$a_i= \frac{SDR_i^+ - Min(SDR_i^+)}{Max(SDR_i^+) -Min(SDR_i^+)} \qquad b_i=\frac{ Max(SDR_i^-) -SDR_i^-}{Max(SDR_i^-) -Min(SDR_i^-)} $$

$$ Q_i = \left( 1-k \right) a_i + k b_i $$

$$base=\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{10 \times2}} &-a_i &-b_i\\ \hline 长沙市 &0.6364 &0.5007\\ \hline 湘潭市 &0.8027 &0.7345\\ \hline 株洲市 &0.6132 &0.5835\\ \hline 衡阳市 &0.7855 &0.7191\\ \hline 娄底市 &0.8014 &0.7153\\ \hline 益阳市 &0.7897 &0.7058\\ \hline 邵阳市 &0.6125 &0.6095\\ \hline 优 &0 &0\\ \hline 良 &0.4733 &0.516\\ \hline 中 &1 &1\\ \hline \end{array} $$

显示两列的对抗拓扑层级图,基础决策矩阵

查看k_mean各个拐点拓扑图

交叉拐点——折线分布图