数据来源

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　　本研究基于有向哈斯图方法(D-HDT)对地下水水质依据国家标准进行建模、解释与评估。具体做法是，对某地区的9个取样点进行了地下水质全方位的检测。运用主成分分析法，去掉了不必要的检测内容，最后剩下了10个检测内容。同时基于国家标准，加入了4个标准样本，分别对应4类水质。

　　上述B1到B4依据《地下水质量标准（GB/T 14848-2017）》构造标准等级样品。此四组样品可以看成机器学习中的标注数据。

　　以列为单位，用极差法进行归一化。计算公式如下：

　　$$ X_{new}=\left| \frac{{X-X_{min}}}{{X_{max}-X_{min}}} \right| $$

　　采用熵权法获得每列的权重。这里只关注权重大小的顺序。权重的计算公式如下：

　　$1、 \rho _{ij}=\frac {x_{ij}} {\sum \limits_{i=1}^{n}{x_{ij}}}$

　　$2、 e_{j}=-k {\sum \limits_{i=1}^{n}{\rho _{ij}\times ln({\rho _{ij}}) } },(其中有 \quad k= \frac{1}{ln(13)}, 且 \quad 当 \rho _{ij}=0 时,令 \quad ln({\rho _{ij}})=-1000 )$

　　$3、 \quad 　d_{j}=1-e_{j} $

　　$4、 \quad \omega_{j}=\frac {d_{j}} {\sum \limits_{j=1}^{m}{d_{j}}} $

　　这步只是更有效的保序而已。变过方法又是一个新东西。记住此次的用法是权重从大到小排序。

　　累加可以看成权重方向的模糊聚类。

　　关系矩阵获得的方式如下两种可以任选一种：

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, \text{ $PS_{(x)}>PS_{(y)}$ 即D矩阵中x行跟y行的偏序比较} \\ 0, \text{ $PS_{(x)} ≯PS_{(y)}$ 即D矩阵中x行跟y行的偏序比较} \end{cases}$$

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, \text{ $PS_{(y)}>PS_{(x)}$ 即D矩阵中x行跟y行的偏序比较} \\ 0, \text{ $PS_{(y)} ≯PS_{(x)}$ 即D矩阵中x行跟y行的偏序比较} \end{cases}$$

　　以上两种，核心在于偏序完全相等时，取0，取1的话有可能出现回路。

　　当矩阵值$d_{x1} \geqslant d_{y1} 且d_{x2} \geqslant d_{y2} 且 d_{x3} \geqslant d_{y3} {\cdots}且d_{xm} \geqslant d_{ym}$

　　记作：$$ \quad \quad PS_{(x)}\geqslant PS_{(y)}$$

　　关系矩阵获得的方式如下两种可以任选一种：

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(x)} {\geqslant} PS_{(y)} \\ 0, \end{cases} $$

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(y)} \geqslant PS_{(x)} \\ 0, \end{cases}$$

　　以上两种，核心在于$\geqslant$的定义。

　　累加只是一种线性过程的模糊聚类，模糊聚类的方式很多。此处以相反方向求解。即权重按照从小到大排列，再累加

　　按照权值由小到大的排序如下：

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times10}} &总硬度 &硝酸盐 &硫酸盐 &氟化物 &铁 &氯化物 &氨氮 &锰 &铅 &亚硝酸盐\\ \hline S1 &0 &0 &0 &0.10526315789474 &0.033976637887252 &0.065038257798705 &0.0033783783783784 &0.012510336365334 &0.0053068989686593 &0\\ \hline S2 &0.13138686131387 &0.46643109540636 &0.12137518684604 &0.10526315789474 &0.022651091924835 &0.022660388463802 &0.016891891891892 &0.0014804342607165 &0.023330329428257 &0.00020837674515524\\ \hline S3 &0.2463503649635 &0.12190812720848 &0.12735426008969 &0.15789473684211 &0.047739969527679 &0.015891701000589 &0.016891891891892 &0.0075088692683187 &0.017522779613498 &0.00062513023546572\\ \hline S4 &0.16423357664234 &0.33922261484099 &0.13333333333333 &0.052631578947368 &0.074149314372778 &0.0067686874632137 &0.025675675675676 &0.0028608391794927 &0.011915490137178 &0.00062513023546572\\ \hline S5 &0.17335766423358 &0.2469964664311 &0.074439461883408 &0.052631578947368 &0.014372778059929 &0 &0.0054054054054054 &0.00060017605164181 &0 &0\\ \hline S6 &0.23357664233577 &0.31095406360424 &0.11300448430493 &0 &0.36160487557136 &0.016774573278399 &0.014864864864865 &0.061524713916082 &0.0054070291378792 &0.0020837674515524\\ \hline S7 &0.2007299270073 &0.2773851590106 &0.10822122571001 &0 &0 &0.0076515597410241 &0.0074324324324324 &0 &0.0013016921998598 &0.00062513023546572\\ \hline S8 &0.40328467153285 &0.22720848056537 &0.34828101644245 &0.052631578947368 &0.023209751142712 &0.070335491465568 &0.075675675675676 &0.12707727600096 &0.0038049464303595 &0.0081266930610544\\ \hline S9 &0.16058394160584 &0.21837455830389 &0.096562032884903 &0 &0.011579481970543 &0.0020600353148911 &0.0040540540540541 &0.00018005281549254 &0.00090117152297987 &0.00020837674515524\\ \hline B1 &0.087591240875912 &0.010600706713781 &0.10313901345291 &0.47368421052632 &0.035043169121381 &0.11712772218952 &0 &0.033049694577076 &0.048763392410133 &0.0018753907063972\\ \hline B2 &0.36131386861314 &0.11660777385159 &0.40209267563528 &0.47368421052632 &0.085830370746572 &0.41141848145968 &0.054054054054054 &0.033049694577076 &0.048763392410133 &0.020629297770369\\ \hline B3 &0.63503649635036 &0.64664310954064 &0.70104633781764 &0.47368421052632 &0.13661757237176 &0.70570924072984 &0.32432432432432 &0.066392808557177 &0.098828477020126 &0.20816836841009\\ \hline B4 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1 &1\\ \hline \end{array} $$

　　累加矩阵如下：

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}{M_{13 \times10}} &D1 &D2 &D3 &D4 &D5 &D6 &D7 &D8 &D9 &D10\\ \hline S1 &0 &0 &0 &0.10526315789474 &0.13923979578199 &0.20427805358069 &0.20765643195907 &0.22016676832441 &0.22547366729307 &0.22547366729307\\ \hline S2 &0.13138686131387 &0.59781795672023 &0.71919314356627 &0.824456301461 &0.84710739338584 &0.86976778184964 &0.88665967374153 &0.88814010800225 &0.91147043743051 &0.91167881417566\\ \hline S3 &0.2463503649635 &0.36825849217198 &0.49561275226167 &0.65350748910378 &0.70124745863145 &0.71713915963204 &0.73403105152394 &0.74153992079225 &0.75906270040575 &0.75968783064122\\ \hline S4 &0.16423357664234 &0.50345619148333 &0.63678952481666 &0.68942110376403 &0.76357041813681 &0.77033910560002 &0.79601478127569 &0.79887562045519 &0.81079111059237 &0.81141624082783\\ \hline S5 &0.17335766423358 &0.42035413066467 &0.49479359254808 &0.54742517149545 &0.56179794955538 &0.56179794955538 &0.56720335496078 &0.56780353101242 &0.56780353101242 &0.56780353101242\\ \hline S6 &0.23357664233577 &0.54453070594001 &0.65753519024494 &0.65753519024494 &1.0191400658163 &1.0359146390947 &1.0507795039596 &1.1123042178756 &1.1177112470135 &1.1197950144651\\ \hline S7 &0.2007299270073 &0.4781150860179 &0.58633631172791 &0.58633631172791 &0.58633631172791 &0.59398787146894 &0.60142030390137 &0.60142030390137 &0.60272199610123 &0.6033471263367\\ \hline S8 &0.40328467153285 &0.63049315209822 &0.97877416854067 &1.031405747488 &1.0546154986307 &1.1249509900963 &1.200626665772 &1.327703941773 &1.3315088882033 &1.3396355812644\\ \hline S9 &0.16058394160584 &0.37895849990973 &0.47552053279463 &0.47552053279463 &0.48710001476517 &0.48916005008006 &0.49321410413412 &0.49339415694961 &0.49429532847259 &0.49450370521775\\ \hline B1 &0.087591240875912 &0.098191947589693 &0.20133096104261 &0.67501517156892 &0.71005834069031 &0.82718606287983 &0.82718606287983 &0.8602357574569 &0.90899914986704 &0.91087454057343\\ \hline B2 &0.36131386861314 &0.47792164246473 &0.88001431810001 &1.3536985286263 &1.4395288993729 &1.8509473808326 &1.9050014348866 &1.9380511294637 &1.9868145218738 &2.0074438196442\\ \hline B3 &0.63503649635036 &1.281679605891 &1.9827259437086 &2.456410154235 &2.5930277266067 &3.2987369673366 &3.6230612916609 &3.6894541002181 &3.7882825772382 &3.9964509456483\\ \hline B4 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline \end{array} $$

　　当矩阵值$d_{x1} \geqslant d_{y1} 且d_{x2} \geqslant d_{y2} 且 d_{x3} \geqslant d_{y3} {\cdots}且d_{xm} \geqslant d_{ym}$

　　记作：$$ \quad \quad PS_{(x)}\geqslant PS_{(y)}$$

　　关系矩阵获得的方式如下两种可以任选一种：

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(x)} {\geqslant} PS_{(y)} \\ 0, \end{cases} $$

　　$$a_{xy}= \begin{cases} 1, PS_{(y)} \geqslant PS_{(x)} \\ 0, \end{cases}$$

　　以上两种，核心在于$\geqslant$的定义。

　　运用哈斯图方法，核心就是模糊矩阵$F$的获得，累加矩阵并非必须。关键是模糊矩阵的处理，其特点非常灵活，几乎可以把现在流行的各种神经网络，机器学习都弄进来。

　　取偏序的规则有非常多种，只要有合理的数理逻辑就行。本文就累加矩阵的方式采用两种方式，偏序的规则，采用了大于等于，大于两种常见的规则。

　　核心流程也可以如下:

　$$　\require{cancel} \require{AMScd} \begin{CD} F=\left[ f_{ij} \right]_{n \times m}@>各种算法>>FuzzyMat=\left[ d_{ij} \right]_{n \times n}@>各种模糊算子>>FR=\left[ a_{ij} \right]_{n \times n}@>>>A=\left[ a_{ij} \right]_{n \times n} \\ \end{CD} $$

　　其中$FuzzyMat$为模糊方阵，它可以是偏序得到的结果。然后由模糊方阵，得到模糊可达矩阵，最终得到若干个层级图。