利用Tarjan算法求有向图的强连通分量


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此处输入要素的个数:


Tarjan算法是用于求有向图的强连通分量

Tarjan算法的用途之一是,求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话,那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

时间复杂度:O(M+N) 注:M代表边数,N代表顶点数。

步骤概要:

步骤1: 找一个没有被遍历过的顶点v,进行步骤2(v)(遍历时间由1开始累加,若是非连通图,则须重复进行步骤1)。否则,算法结束。

步骤2(v): 初始化dfn[v]和low[v]的值为当前的遍历时间,并且v进栈;

对于v所有的邻接顶点u:
(1) 如果u没有被遍历过,则进行步骤2(u),同时维护low[v]。
(2) 如果u已经被遍历过,但还在栈中(即还不属于任一强连通分量),则维护low[v],否则不做任何操作。
   如果有dfn[v]==low[v],则把栈中的顶点弹出(直到把v都弹出为止),这些顶点组成一个强连通分量。

简要证明:

1. 在栈里,当dfs遍历到v,而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时,low[v]=dfn[v]时,v一定能到达栈里v上面的顶点:
因为当dfs遍历到v,而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时(假设上面没有low=dfn),这时如果发现low[v]=dfn[v],栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的,所以v一定能够到达那些顶点。

2 .dfs遍历时,如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v],我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点,这些顶点的low一定小于 自己的dfn,不然就会出栈了,也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量,如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v](这里不再详细说),所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。
强烈推荐详细的解释与说明


显示的是一个随机 12 * 12 的方阵



   老鼠金牛白虎狡兔青龙毒蛇骏马小羊猕猴山鸡狗仔笨猪
老鼠       1       1             1   
金牛       1       1                  
白虎             1    1 1            
狡兔                1                  
青龙                            1      
毒蛇    1       1          1         
骏马             1                     
小羊                         1       1
猕猴                                  1
山鸡    1    1                        
狗仔                                    
笨猪          1                   1   
  开始用深度搜索,从第一个节点开始!
      访问的元素是:老鼠
      堆栈里的元素有:老鼠
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      访问的元素是:白虎
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2
      访问的元素是:青龙
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3
      访问的元素是:山鸡
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4
      访问的元素是:金牛
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5
          要素白虎在dfn数组中的值,小于金牛在low数组中的值,现在进行赋值 low金牛=dfn白虎;
      访问的元素是:毒蛇
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=2、毒蛇=6
          要素金牛在dfn数组中的值,小于毒蛇在low数组中的值,现在进行赋值 low毒蛇=dfn金牛;
          要素青龙在dfn数组中的值,小于毒蛇在low数组中的值,现在进行赋值 low毒蛇=dfn青龙;
      访问的元素是:猕猴
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=7
      访问的元素是:笨猪
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=7、笨猪=8
      访问的元素是:狡兔
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9
          要素毒蛇在dfn数组中的值,小于狡兔在low数组中的值,现在进行赋值 low狡兔=dfn毒蛇;
          要素狡兔在low数组中的值,小于笨猪在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
      访问的元素是:狗仔
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔、狗仔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9、狗仔=10
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=7、笨猪=6、狡兔=6、狗仔=10
          此时狗仔在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔、狗仔
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9、狗仔=10
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=7、笨猪=6、狡兔=6、狗仔=10
          弹出要素狗仔 如果不等于狗仔继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔
          停止弹出!
          要素笨猪在low数组中的值,小于猕猴在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          要素金牛在low数组中的值,小于山鸡在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          要素山鸡在low数组中的值,小于青龙在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
      访问的元素是:骏马
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔、骏马
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9、狗仔=10、骏马=11
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=2、山鸡=2、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=6、笨猪=6、狡兔=6、狗仔=10、骏马=11
          要素青龙在dfn数组中的值,小于骏马在low数组中的值,现在进行赋值 low骏马=dfn青龙;
      访问的元素是:小羊
      堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔、骏马、小羊
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9、狗仔=10、骏马=11、小羊=12
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=2、山鸡=2、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=6、笨猪=6、狡兔=6、狗仔=10、骏马=3、小羊=12
          要素猕猴在dfn数组中的值,小于小羊在low数组中的值,现在进行赋值 low小羊=dfn猕猴;
          此时白虎在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔、骏马、小羊
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9、狗仔=10、骏马=11、小羊=12
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=2、山鸡=2、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=6、笨猪=6、狡兔=6、狗仔=10、骏马=3、小羊=7
          弹出要素小羊 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔、骏马
          弹出要素骏马 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪、狡兔
          弹出要素狡兔 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴、笨猪
          弹出要素笨猪 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇、猕猴
          弹出要素猕猴 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛、毒蛇
          弹出要素毒蛇 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡、金牛
          弹出要素金牛 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙、山鸡
          弹出要素山鸡 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎、青龙
          弹出要素青龙 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、白虎
          弹出要素白虎 如果不等于白虎继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠
          停止弹出!
          此时老鼠在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=3、山鸡=4、金牛=5、毒蛇=6、猕猴=7、笨猪=8、狡兔=9、狗仔=10、骏马=11、小羊=12
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、白虎=2、青龙=2、山鸡=2、金牛=2、毒蛇=3、猕猴=6、笨猪=6、狡兔=6、狗仔=10、骏马=3、小羊=7
          弹出要素老鼠 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
   狗仔 小羊 骏马 狡兔 笨猪 猕猴 毒蛇 金牛 山鸡 青龙 白虎 老鼠
狗仔                                   
小羊            1 1                  
骏马                           1      
狡兔                  1               
笨猪1       1                        
猕猴            1                     
毒蛇               1    1    1      
金牛                  1          1   
山鸡         1          1            
青龙                        1         
白虎   1 1                   1      
老鼠1                1          1   

计算出来后的


老鼠要素
金牛要素
白虎要素
狡兔要素
青龙要素
毒蛇要素
骏马要素
小羊要素
猕猴要素
山鸡要素
狗仔要素
笨猪要素
第0层
第1层
第2层

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