利用Tarjan算法求有向图的强连通分量


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此处输入要素的个数:


Tarjan算法是用于求有向图的强连通分量

Tarjan算法的用途之一是,求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话,那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

时间复杂度:O(M+N) 注:M代表边数,N代表顶点数。

步骤概要:

步骤1: 找一个没有被遍历过的顶点v,进行步骤2(v)(遍历时间由1开始累加,若是非连通图,则须重复进行步骤1)。否则,算法结束。

步骤2(v): 初始化dfn[v]和low[v]的值为当前的遍历时间,并且v进栈;

对于v所有的邻接顶点u:
(1) 如果u没有被遍历过,则进行步骤2(u),同时维护low[v]。
(2) 如果u已经被遍历过,但还在栈中(即还不属于任一强连通分量),则维护low[v],否则不做任何操作。
   如果有dfn[v]==low[v],则把栈中的顶点弹出(直到把v都弹出为止),这些顶点组成一个强连通分量。

简要证明:

1. 在栈里,当dfs遍历到v,而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时,low[v]=dfn[v]时,v一定能到达栈里v上面的顶点:
因为当dfs遍历到v,而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时(假设上面没有low=dfn),这时如果发现low[v]=dfn[v],栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的,所以v一定能够到达那些顶点。

2 .dfs遍历时,如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v],我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点,这些顶点的low一定小于 自己的dfn,不然就会出栈了,也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量,如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v](这里不再详细说),所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。
强烈推荐详细的解释与说明


显示的是一个随机 12 * 12 的方阵



   老鼠金牛白虎狡兔青龙毒蛇骏马小羊猕猴山鸡狗仔笨猪
老鼠    1                              
金牛                         1       1
白虎                   1               
狡兔 1    1          1               
青龙    1                            1
毒蛇                                    
骏马 1                            1   
小羊                   1               
猕猴    1                1            
山鸡    1    1                        
狗仔       1                           
笨猪          1          1 1         
  开始用深度搜索,从第一个节点开始!
      访问的元素是:老鼠
      堆栈里的元素有:老鼠
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      访问的元素是:金牛
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2
      访问的元素是:猕猴
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3
          要素金牛在dfn数组中的值,小于猕猴在low数组中的值,现在进行赋值 low猕猴=dfn金牛;
      访问的元素是:小羊
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=2、小羊=4
      访问的元素是:骏马
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=2、小羊=4、骏马=5
          要素老鼠在dfn数组中的值,小于骏马在low数组中的值,现在进行赋值 low骏马=dfn老鼠;
      访问的元素是:狗仔
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=2、小羊=4、骏马=1、狗仔=6
      访问的元素是:白虎
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔、白虎
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=2、小羊=4、骏马=1、狗仔=6、白虎=7
          要素骏马在dfn数组中的值,小于白虎在low数组中的值,现在进行赋值 low白虎=dfn骏马;
          要素白虎在low数组中的值,小于狗仔在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          要素骏马在low数组中的值,小于小羊在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          要素小羊在low数组中的值,小于猕猴在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          要素猕猴在low数组中的值,小于金牛在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
      访问的元素是:笨猪
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔、白虎、笨猪
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=8
      访问的元素是:狡兔
      堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔、白虎、笨猪、狡兔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=8、狡兔=9
          要素老鼠在dfn数组中的值,小于狡兔在low数组中的值,现在进行赋值 low狡兔=dfn老鼠;
          要素狡兔在low数组中的值,小于笨猪在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          此时老鼠在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔、白虎、笨猪、狡兔
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=1、狡兔=1
          弹出要素狡兔 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔、白虎、笨猪
          弹出要素笨猪 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔、白虎
          弹出要素白虎 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马、狗仔
          弹出要素狗仔 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊、骏马
          弹出要素骏马 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴、小羊
          弹出要素小羊 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛、猕猴
          弹出要素猕猴 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、金牛
          弹出要素金牛 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠
          弹出要素老鼠 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:青龙
      堆栈里的元素有:青龙
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9、青龙=10
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=1、狡兔=1、青龙=10
          此时青龙在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:青龙
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9、青龙=10
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=1、狡兔=1、青龙=10
          弹出要素青龙 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:毒蛇
      堆栈里的元素有:毒蛇
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9、青龙=10、毒蛇=11
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=1、狡兔=1、青龙=10、毒蛇=11
          此时毒蛇在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:毒蛇
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9、青龙=10、毒蛇=11
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=1、狡兔=1、青龙=10、毒蛇=11
          弹出要素毒蛇 如果不等于毒蛇继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:山鸡
      堆栈里的元素有:山鸡
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9、青龙=10、毒蛇=11、山鸡=12
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=1、狡兔=1、青龙=10、毒蛇=11、山鸡=12
          此时山鸡在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:山鸡
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=2、猕猴=3、小羊=4、骏马=5、狗仔=6、白虎=7、笨猪=8、狡兔=9、青龙=10、毒蛇=11、山鸡=12
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、金牛=1、猕猴=1、小羊=1、骏马=1、狗仔=5、白虎=5、笨猪=1、狡兔=1、青龙=10、毒蛇=11、山鸡=12
          弹出要素山鸡 如果不等于山鸡继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
   狡兔 笨猪 白虎 狗仔 骏马 小羊 猕猴 金牛 老鼠 青龙 毒蛇 山鸡
狡兔      1    1          1         
笨猪1             1 1               
白虎            1                     
狗仔      1                           
骏马         1             1         
小羊            1                     
猕猴               1    1            
金牛   1             1               
老鼠                     1            
青龙   1                1            
毒蛇                                   
山鸡1                   1            

计算出来后的


老鼠要素
金牛要素
白虎要素
狡兔要素
青龙要素
毒蛇要素
骏马要素
小羊要素
猕猴要素
山鸡要素
狗仔要素
笨猪要素
第0层
第1层
第2层
第3层

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