利用Tarjan算法求有向图的强连通分量


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此处输入要素的个数:


Tarjan算法是用于求有向图的强连通分量

Tarjan算法的用途之一是,求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话,那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

时间复杂度:O(M+N) 注:M代表边数,N代表顶点数。

步骤概要:

步骤1: 找一个没有被遍历过的顶点v,进行步骤2(v)(遍历时间由1开始累加,若是非连通图,则须重复进行步骤1)。否则,算法结束。

步骤2(v): 初始化dfn[v]和low[v]的值为当前的遍历时间,并且v进栈;

对于v所有的邻接顶点u:
(1) 如果u没有被遍历过,则进行步骤2(u),同时维护low[v]。
(2) 如果u已经被遍历过,但还在栈中(即还不属于任一强连通分量),则维护low[v],否则不做任何操作。
   如果有dfn[v]==low[v],则把栈中的顶点弹出(直到把v都弹出为止),这些顶点组成一个强连通分量。

简要证明:

1. 在栈里,当dfs遍历到v,而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时,low[v]=dfn[v]时,v一定能到达栈里v上面的顶点:
因为当dfs遍历到v,而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时(假设上面没有low=dfn),这时如果发现low[v]=dfn[v],栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的,所以v一定能够到达那些顶点。

2 .dfs遍历时,如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v],我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点,这些顶点的low一定小于 自己的dfn,不然就会出栈了,也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量,如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v](这里不再详细说),所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。
强烈推荐详细的解释与说明


显示的是一个随机 12 * 12 的方阵



   老鼠金牛白虎狡兔青龙毒蛇骏马小羊猕猴山鸡狗仔笨猪
老鼠             1                     
金牛                1                  
白虎                         1    1   
狡兔    1                         1   
青龙       1                           
毒蛇       1                      1   
骏马                         1         
小羊 1                      1         
猕猴    1       1    1               
山鸡    1                   1    1   
狗仔                                    
笨猪          1                        
  开始用深度搜索,从第一个节点开始!
      访问的元素是:老鼠
      堆栈里的元素有:老鼠
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1
      访问的元素是:青龙
      堆栈里的元素有:老鼠、青龙
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2
      访问的元素是:白虎
      堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3
      访问的元素是:猕猴
      堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4
      访问的元素是:金牛
      堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5
      访问的元素是:毒蛇
      堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛、毒蛇
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6
          要素白虎在dfn数组中的值,小于毒蛇在low数组中的值,现在进行赋值 low毒蛇=dfn白虎;
      访问的元素是:狗仔
      堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛、毒蛇、狗仔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=3、狗仔=7
          此时狗仔在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛、毒蛇、狗仔
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=3、狗仔=7
          弹出要素狗仔 如果不等于狗仔继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛、毒蛇
          停止弹出!
          要素毒蛇在low数组中的值,小于金牛在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          要素金牛在low数组中的值,小于猕猴在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          要素青龙在dfn数组中的值,小于猕猴在low数组中的值,现在进行赋值 low猕猴=dfn青龙;
      访问的元素是:骏马
      堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛、毒蛇、骏马
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=8
          要素猕猴在dfn数组中的值,小于骏马在low数组中的值,现在进行赋值 low骏马=dfn猕猴;
          要素猕猴在low数组中的值,小于白虎在low数组中的值,现在进行赋值让两个相等
          此时青龙在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛、毒蛇、骏马
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4
          弹出要素骏马 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛、毒蛇
          弹出要素毒蛇 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴、金牛
          弹出要素金牛 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎、猕猴
          弹出要素猕猴 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙、白虎
          弹出要素白虎 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠、青龙
          弹出要素青龙 如果不等于青龙继续弹出
         堆栈里的元素有:老鼠
          停止弹出!
          此时老鼠在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:老鼠
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4
          弹出要素老鼠 如果不等于老鼠继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:狡兔
      堆栈里的元素有:狡兔
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9
          此时狡兔在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:狡兔
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9
          弹出要素狡兔 如果不等于狡兔继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:小羊
      堆栈里的元素有:小羊
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9、小羊=10
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9、小羊=10
          此时小羊在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:小羊
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9、小羊=10
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9、小羊=10
          弹出要素小羊 如果不等于小羊继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:山鸡
      堆栈里的元素有:山鸡
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11
          此时山鸡在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:山鸡
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11
          弹出要素山鸡 如果不等于山鸡继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
      访问的元素是:笨猪
      堆栈里的元素有:笨猪
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11、笨猪=12
      数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11、笨猪=12
          此时笨猪在两个数组中的值相等,并且前驱节点为空!
         堆栈里的元素有:笨猪
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=3、猕猴=4、金牛=5、毒蛇=6、狗仔=7、骏马=8、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11、笨猪=12
        数组dfn中各个要素的值:老鼠=1、青龙=2、白虎=2、猕猴=2、金牛=3、毒蛇=3、狗仔=7、骏马=4、狡兔=9、小羊=10、山鸡=11、笨猪=12
          弹出要素笨猪 如果不等于笨猪继续弹出
         堆栈里的元素有:
          停止弹出!
   狗仔 骏马 毒蛇 金牛 猕猴 白虎 青龙 老鼠 狡兔 小羊 山鸡 笨猪
狗仔                                   
骏马            1                     
毒蛇1             1                  
金牛      1                           
猕猴   1    1       1               
白虎1          1                     
青龙               1                  
老鼠                  1               
狡兔1       1                        
小羊            1       1            
山鸡1       1 1                     
笨猪                        1         

计算出来后的


老鼠要素
金牛要素
白虎要素
狡兔要素
青龙要素
毒蛇要素
骏马要素
小羊要素
猕猴要素
山鸡要素
狗仔要素
笨猪要素
第0层
第1层
第2层
第3层
第4层
第5层
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